【摘要】資金時間價值是《技術經濟學》課程中最基本的概念，資金時間價值的計算公式較多，教學難度較大。PFA三角關系圖是筆者在長期的教學工作中，針對資金時間價值計算探索總結出的一套教學方法。只要真正理解資金時間價值的內涵，掌握PFA三角關系圖，借助于現金流量圖這一計算工具，就能比較好地掌握資金時間價值的計算方法，為各種經濟評價指標及評價方法的學習打下堅實的基礎。
【關鍵詞】技術經濟學 資金時間價值 PFA三角關系圖 現金流量圖
《技術經濟學》課程是管理類、工科類專業開設的一門重要課程，主要內容有經濟評價指標、經濟評價方法、項目的財務評價、項目的國民經濟評價、項目可行性研究、設備的技術經濟分析等。《技術經濟學》課程特點突出表現為：公式眾多、方法靈活、綜合性強、涉及面廣、應用性強等。該課程開設的目的在于通過系統地學習技術經濟學的基本概念、基本理論和方法，掌握并能夠運用技術經濟知識研究和分析各種技術經濟問題，準確地進行項目評價，正確地做出投資決策。要達到這一教學目的，就要求教師教學時必須讓學生掌握該課程最基本的資金時間價值這部分知識，能夠靈活地運用資金時間價值計算公式，從而為后續技術經濟評價指標、方法及綜合評價的學習打下堅實的基礎。筆者在長期的教學工作中針對資金的時間價值這一部分內容做了深入的研究，探索出了一套基于PFA三角關系圖的資金時間價值教學法，以供廣大同行交流參考。
一、資金時間價值的含義及其計算公式
1. 資金時間價值的含義。在財務管理上，資金時間價值是指貨幣經歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱為貨幣的時間價值。而在技術經濟學中，為了運用現金流量圖這一分析工具，我們認為，資金時間價值是指不同時間發生的等額資金在價值上的差別。
根據經濟學理論的觀點：資金只有當作資本投入生產和流通之后才會產生增值。首先，從投資者的角度來看，資產的增值特性使資金具有了時間價值。其次，從消費者的角度來看，資金時間價值體現為對消費者放棄現期消費而應給予的必要補償。
比如某投資人今天把100萬元進行投資或存入銀行，在年利率為10%的情況下，一年以后該投資人就擁有110萬元（100+100×10%），這說明今天的100萬元和1年以后的110萬元等值，這多出來的10萬元就是這100萬元在一年內發生的增值，也就是這100萬元資金的時間價值。
2. 資金時間價值的計算公式。資金時間價值的計算有單利和復利兩種計算方法，因為單利的計算比較簡單，所以此處只討論復利法。在技術經濟學中，整個資金時間價值的計算會涉及五個常見符號：F（終值）、P（現值）、A（年金）、i（利率）、n（期數）。不論是一次支付系列還是等額分付系列，各資金價值符號之間的關系都是通過求終值、求現值或求年金的公式來體現（如下表所示）。
二、PFA三角關系圖及其運用
1. PFA三角關系圖。根據上表可以看出，六個公式實際上兩兩互為倒數，即（P/F，i，n）·（F/P，i，n）=1；（P/A，i，n）·（A/P，i，n）=1；（A/F，i，n）·（F/A，i，n）=1。因此，可以將上表用更加簡單化、形象化的PFA三角關系圖來描述。
在資金時間價值的計算公式表中，每個計算公式都可以通過代數式形式和（求解/已知，i，n）兩種形式來描述，從第一個公式到第六個公式，資金時間價值的系數代數式越來越復雜，需要說明的是，不管是財務管理教材還是技術經濟學教材，都會把復利系數表完整詳細地列出，所以，在計算時只需要查表即可得出具體值，省去了每個公式計算的繁雜過程。因此，學生在學習這部分知識點過程中，只需要掌握資金時間價值計算公式的形式（求解/已知，i，n）即可。也就是說，學生只要能夠通過題意，弄明白P、F和A三者中已知和求解的各是哪一個，再直接運用（求解/已知，i，n）形式查表得出公式值，不需要通過死記硬背繁雜的代數式再通過手工或計算器自行計算。這樣，學生學習資金時間價值計算公式的難度大大地降低，同時計算結果的準確性也大大地提高。
2. PFA三角關系圖的運用要點。PFA三角關系圖（圖1）簡單明了地反映出了資金時間價值的六個計算公式之間的關系，在運用PFA三角關系圖分析實際問題時，還應注意以下要點：
（1）把現金流量圖作為輔助分析工具。現金流量圖是描述現金流量作為時間函數的圖形，即把經濟系統的現金流量繪入時間坐標圖中，表示出各現金流入、現金流出與相應時間的對應關系（見圖2）。它能顯示資金在不同時間點流入與流出的情況，是資金時間價值計算的有效工具。運用現金流量圖，就可以全面、形象、直觀地表達經濟系統的資金運動狀態。
在圖2中，橫軸代表的是項目的時間周期為n，并且進行n等分；縱軸代表的是資金，向上的箭頭表示現金流入，向下的箭頭表示現金流出，箭頭的長短表示資金額的大小，而且假設所有的資金都必須發生在某個時間點上。
（2）P、F和A資金發生的時間是相對的。在圖1中標注了每個資金P、F、A發生的時間，即P在0點，F在n點，A在從1開始到n結束的n個點上。需要明確的是，實際的資金不一定就發生在這些點上。
例1：某人從2008年參加工作開始，每年年末向銀行存入1萬元，假設銀行存款利率為5%，則2013年底他能得到多少本利和呢？在對實際問題進行分析時，已知條件是每年末存入的1萬元就是年金A，求解的是終值F，其中，A發生的時間是從2008年開始到2013年為止。
因此，在運用PFA三角關系圖時必須明確：PFA三者資金發生的時間是相對的，而不是絕對的。
（3）六個公式中n的含義是統一的。首先，觀察一次支付系列的P、F關系的兩個公式，根據第一個要點，我們知道資金P、F的時間不是絕對的，假如P在n1點，F在n2點上時，則公式里面的n該如何確定呢？因為P在0點，F在n點，所以公式里面的n等于n-0，即：n=n-0。所以，當P在n1點，F在n2點上時，則公式里面的n就應該等于n2-n1,即：n= n2 -n1，也就是說，一次支付系列P、F關系的兩個公式里的n的含義為P、F所在的兩個時間點的差。
其次，觀察等額分付系列的P與A、F與A關系的四個公式，因為A在從1開始到n結束的n個點上，所以我們很容易發現，公式里面的n實際上就是A的個數，有幾個A，n就是幾。比如剛才的例子中，從2008年開始到2013年為止每年年末存入銀行的1萬元年金A，總共存了六年，在運用公式時，時間n就是6。
在A的時間是具體數值的情況下，我們可以通過分析A的個數得出時間n，但是，如果A從時間點j開始到k結束時，那么公式里面的n該如何確定呢？
對于這個問題，我們要從P、F和A三者的相對位置入手來進行分析。根據第一個要點。我們知道P、F和A三者發生的時間是相對的，仔細觀察不難發現，P發生在第一個A的前一個時間點上，F發生在最后一個A所在的時間點上。當A從時間點j開始到k結束時，A所對應的P在（j-1）點上，A所對應的F在k點上，所以等額分付系列的P與A、F與A關系的四個公式中的n就等于k-（j-1），即n= k-（j-1）。用例1驗證如下：n=2013-（2008-1）=6。經驗證，結果為6，正好就是A的個數。也就是說，等額分付系列的P與A、F與A關系的四個公式中的n的含義為A所對應的P和F兩個時間點的差。
綜上所述，六個公式中n的含義可以統一為P和F兩個時間點的差。一次支付系列公式中直接用P、F所在的兩個時間點相減即可，等額分付系列公式中需要先把A所對應的P和F兩個時間點找到再相減即可。
三、PFA三角關系圖運用示例
例2：某工程1年建成，第二年初開始生產，每年末開始有收益，每年凈收益為5萬元，收益期為5年，若投資收益率為10%時，恰好能夠在壽命期內把期初投資全部收回，問該工程期初投入的資金是多少？
解：根據題意，畫出現金流量圖：
根據現金流量圖可知，年收益5萬元，從第2個點開始到第6個點結束，其所對應的P和F分別在點1和點6上，因此，在利用等額分付系列公式時，時間為：6-1=5。
根據PFA三角關系圖可知，所要求解的期初投資資金P0與年收益5萬元（視為A），并不是直接的已知A求P的關系，因此，需要借助于A（年收益5萬元）所對應的P或F來進行分析。分析過程如圖4所示：
根據圖4，期初投資資金P0可用兩種簡單的方法求解：
1. 借助于A（年收益5萬元）所對應的P。根據PFA三角關系圖可知，A（年收益5萬元）所對應的P在1點上，因此，先把A通過（P/A，10%，5）折算到1點，再通過（P/F，10%，1）折算到0點，即：P0=5（P/A，10%，5）（P/F，10%，1）。查表可得：P0=5×3.790 8×0.909 1=17.231（萬元） 。
2. 借助于A（年收益5萬元）所對應的F。根據PFA三角關系圖可知，A（年收益5萬元）所對應的F在6點上，因此，先把A通過（F/A，10%，5）折算到6點，再通過（P/F，10%，6）折算到0點，即：P0=5（F/A，10%，5）（P/F，10%，6）。查表可得：P0=5×6.105×0.564 5=17.231（萬元）。
以上兩種分析思路是分析類似問題的常用思路。
當然，對于這個例子，還可以把年收益5萬元不作為A，而作為5個一次資金，通過（P/F，10%，n）（n=2，3，4，5，6）折算到0點再相加，即：P0=5［（P/F，10%，2）+（P/F，10%，3）+（P/F，10%，4）+（P/F，10%，5）+（P/F，10%，6）］。很顯然，這種思路需要查表的次數更多，計算量更大，建議不使用。
四、小結
資金時間價值是《技術經濟學》課程中最基本的概念，資金時間價值的計算公式較多，只有在真正理解資金時間價值的內涵的基礎上，在分析過程中結合現金流量圖，采用PFA三角關系圖進行資金時間價值的教學，就能達到事半功倍的教學效果，為學生學習各種經濟評價指標及評價方法，打下堅實的基礎。
主要參考文獻
1. 吳添祖.技術經濟學概論.北京：高等教育出版社，2010
2. 葉青.資金時間價值“一拋二問三題”教學法.財會月刊，2011；24
【作 者】
燕永貞
【作者單位】
（鄭州航空工業管理學院工商管理學院 鄭州 450015）
