GM（1,1） 殘差檢驗 關聯度檢驗
一、引言
對于一個企業來說，追求利潤最大化是其生存之本，根據市場需求預測近期銷售量從而制定生產分配方案是企業急需考慮的問題，也是生產商面臨的一大難題。因而對產品進行銷售預測就顯得尤為重要。應用GM（1,1）模型進行預測是較為常見的預測方法。首先是它把離散數據視為連續變量在其變化過程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數據；不直接用原始數據而是由它產生累加生成數，對生成數列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機誤差，顯示出規律性。本文將以GM（1,1）對代表性機械零件產品——直柄鉆的銷售量數據建立有效的GM（1,1）模型并進行短期預測。
二、實例研究
本文通過研究直柄鉆的08年月銷售量走勢，建立GM（1,1）模型進行產品銷售量的預測，并作出詳細的模型檢驗，驗證GM（1,1）模型在產品預測是否合理，旨在探求機械零件產品歷史銷售量走勢規律并做出合理預測。
（一）直柄鉆銷售量預測
1、GM（1,1）的建立
我們將建立GM(1,1)模型的步驟描述如下。
第一步：累加生成
對原始數列中個時刻的數據依次累加，從而形成新的序列
設原始數列為
即
對做一次累加生成（記作1-AGO),即令，也即
第二步：一次擬合參數
建立如下GM(1,1)模型即微分方程：
在上式微分方程中，，其中
求出后，解微分方程，可得響應函數為
第三步：確定預測值
根據與的關系可得預測函數為：
用到此模型建模，需注意以下問題：
（1）定義原始序列時，數據不一定要全部用來建模，踢出個別波動較大的數據，會使預測誤差更小。
（2）模型的數據取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現。
（3）建模數據序列應當由最新的數據及其相鄰數據構成。當再出現新數據時，可采用兩種方法處理：一是將新數據加入原始序列中，重估參數；二是去掉原始序列中最老的一個數據，再加上最新的數據，所形成的序列和原序列維數相等，再重估參數。
2、預測模型的求解
表1：2008年直柄鉆每月銷售量統計表 單位：百萬個
利用GM（1,1）模型對未來直柄鉆作短期預測，具體預測如下表：
表2： 直柄鉆預測銷售量結果 單位：百萬個
表3：2009年直柄鉆的實際銷量為 單位：百萬個
從短期預測結果來看，直柄鉆未來12個月的銷售量基本趨于3.4百萬，呈緩慢增長趨勢，預計在2010還會繼續增長。這也說明國家宏觀調控的結果，在平穩中發展。在某種程度上說，這反應了我國工業很有發展的前途。
（二）GM(1,1)模型檢驗
1、殘差檢驗
根據預測模型，我們得到08年每月銷售量：｛3.618 4.053 4.118 4.183 4.250 4.318 4.386 4.456 4.527 4.599 4.672 4.747｝
計算絕對殘差序列：
=｛0.004 0.200 0.231 0.235 0.257 0.346 0.2840 0.087 0.092 0.250 0.188 0.102｝
計算相對殘差序列：
=｛0.1% 4.9% 5.6% 5.6% 6.0% 8.0% 6.4% 1.9% 2.0% 5.4% 4.0% 2.1%｝
相對誤差不超過8.0%，模型精度較高。
2、進行關聯度檢驗
（1）計算序列絕對殘差序列,max{}=0.346,min{ }=0.004
（2）計算關聯系數
(k=1,…,12,P=0.5)
求得：= ｛1.00 0.47 0.44 0.44 0.42 0.34 0.39 0.68 0.68 0.42 0.49 0.65｝
（3）計算關聯度，
是滿足P=0.5時的檢驗準則>0.5的。
三、結論
通過對機械零件直柄鉆實例研究，可以得知：機械零件銷售在短期預測中呈現緩慢增長的趨勢，說明在國家宏觀調控下，工業生產正在快速發展。但由于市場存在的各種偶然因素的影響，個別數據波動較大，我們采用“新舊替代法”，即把預測值補充到已知序列中，同時去掉一個最老的數據，這樣建立等維灰度預測模型。從預測誤差來看，對所研究的直柄鉆建立GM（1,1）模型可以比較準確的預測產品銷售量。
