一、引言
期權，權證以及其他金融衍生品定價理論的出現(xiàn)是現(xiàn)代金融發(fā)展一個重要的里程碑。基于廣為人知的無套利理論，Black,Scholes和Merton在1973年創(chuàng)立了著名的期權定價公式。此公式的創(chuàng)立立即在學術界和專業(yè)投資領域得到了廣泛的認可，并由此推動了現(xiàn)代金融衍生品市場的發(fā)展。
Black-Scholes公式對金融衍生品定價的深遠影響和內(nèi)在的重要性體現(xiàn)在于，它表明在一定的條件下，衍生品的價格可以通過特定的動態(tài)投資策略被精確地制定出來，而這個投資策略只和標的資產(chǎn)的價格和市場無風險利率有關。這在本質(zhì)上改變了期權定價的方式，使得期權定價更加精確和嚴格，因而極大程度地推動了現(xiàn)代金融市場的發(fā)展。 利用Black-Scholes模型中所采用的方法，各種各樣的金融衍生品，包括各種金融衍生品的組合，可以被精確地定價。
雖然衍生品的最后定價數(shù)值往往是高度計算機相關的，但是本質(zhì)上由于模型建立在無套利條件的基本假設下，整套定價理論的實際應用中并沒有留給傳統(tǒng)統(tǒng)計學多少可以深入研究的空間。這主要是由于中間沒有“誤差項”可以去最小化，也沒有相應的統(tǒng)計波動值得研究。諸如回歸分析等傳統(tǒng)統(tǒng)計方法即使在標的資產(chǎn)的價格變化模型的數(shù)據(jù)處理中都很少有用武之地。然而，這并不是說在B-S模型下的金融衍生品定價理論徹底與統(tǒng)計無關。至少在這套理論的實際應用中有兩個問題確實需要統(tǒng)計推斷。第一個問題是如何估計連續(xù)時間下標的資產(chǎn)價格變化模型中的某些參數(shù)。這點非常重要，因為標的資產(chǎn)的價格模型是之后的衍生品定價模型的基礎。第二個問題與如何用Monte Carlo方法來解決“路徑獨立”的衍生品定價有關。
二、Black-Scholes定價模型
1、基本價格變化模型
隨著金融衍生品市場的發(fā)展，在很多場合下我們需要考慮連續(xù)情況下的模型，而不再是簡單的離散時間模型。例如，Merton推導Black-Scholes公式時就要求假設投資組合在任意時間時候都是可以快速調(diào)整的，只有這樣才能從理論上構造出一個對沖的投資組合，從而通過無套利原則準確計算出衍生品的價格。
這是Black-Scholes公式的最重要的思想。然而在離散情況下，滿足上述要求的投資往往是無法夠構造的，因此本文中所有關于金融衍生品模型的討論都將是在連續(xù)時間下的。
我們用來表示標的資產(chǎn)在 時刻的價格。我們常假設滿足以下條件：
a、對任意的，
b、對任意的，增量與增量是相互統(tǒng)計獨立的。
c.對每條軌道而言，是連續(xù)的。
滿足這些條件的，就是著名的布朗運動或者維納過程，該過程通常用來表示。也即（1）
隨機變量表示描述標的資產(chǎn)的價格，有以下幾個性質(zhì)：
2、Black-Scholes期權定價模型
1973年，F(xiàn)isher Black和Myron Scholes推導出基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價格都必須滿足的微分方程，并運用該方程推導出歐式看漲期權和看跌期權的價值。在此，我們對Black-Scholes模型進行簡單闡述，定價公式的推導過程在很多文獻上都可以查到，所以在此不再詳細介紹，本文只給出最后的推導結果，即定價公式。我們先規(guī)定一些符號：
S:股票現(xiàn)價
K:期權的執(zhí)行價格
T:期權的到期時間
t:現(xiàn)在的時刻
ST:在T時刻股票的價格
r:在T時刻到期的投資的無風險利率
c:一份歐式看漲期權的價值
p:一份歐式看跌期權的價值
在得出Black-Scholes定價公式之前，我們首先要導出Black-Scholes微分方程，Black-Scholes微分方程用到的基本假設如下：
1、股票價格服從幾何布朗運動：
其中，z是標準布朗運動，是股票的期望增長率，是股票的波動率。
2、允許使用全部所得賣空衍生證券。
3、市場上沒有交易費用或稅收，所有證券都是高度可分的。
4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)無紅利發(fā)放。
5、交易市場沒有無風險套利機會。
6、證券交易是連續(xù)的。
7、無風險利率r為常數(shù)且對所有到期日都相同。
在這7項假設的基礎上我們可以推導出Black-Scholes微分方程：
（2）
其中f就是我們所關心的要確定的期權價格。對應于可用標的變量S定義的所有衍生證券，方程有很多解。解方程時得到的特定的衍生證券取決于其使用的邊界條件。對于歐式看漲期權，關鍵的邊界條件為：；歐式看跌期權則為：。
而該方程的一個重要性質(zhì)就是該方程不包含任何受投資者的風險偏好影響的變量。故風險偏好不會對其解產(chǎn)生影響，在對f進行定價時我們可以使用任何一種風險偏好，特別是，可以假設：所有的投資者都是風險中性的。風險中性的假設是求解Black-Scholes微分方程的人為假設，獲得的方程解對所有世界都有效。當進入風險世界時，一方面，股票價格的期望收益率改變了；而另一方面，衍生證券的期望收益率也改變了，這兩種效果在構造無風險證券組合的過程中效果互相抵消。
接下來我們可以得出Black-Scholes定價公式了。在風險中性的世界里，歐式看漲期權的價格是期望值的無風險利率貼現(xiàn)的結果，可得歐式看漲期權的價值：
同理，歐式看跌期權的價值：
其中，
為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。
三、期權價格模型的參數(shù)估計及模型改進
1、價格模型的參數(shù)估計
如前面所言，對金融衍生品的估價是基于標的資產(chǎn)的價格模型的，因此對標的資產(chǎn)的價格模型的研究是至關重要的。由于金融市場里有許許多多的不同類型的期權和其他衍生品，因此需要各種不用的價格模型來描述不同標的資產(chǎn)的價格變化走勢。
首先我們需要考慮的就是帶參數(shù)的標的資產(chǎn)價格模型的參數(shù)估計。為闡述參數(shù)估計需要涉及的問題，我們考慮最簡單的標的資產(chǎn)價格變化模型：
（3）
B-S期權公式的推導中用到的標的資產(chǎn)對數(shù)價格變化模型是上述模型的特殊化。
由通常的假設是一個連續(xù)時間的Markov過程，我們可以利用聯(lián)合密度函數(shù)來估計參數(shù)。由Markov性我們就可以得到：
作為一個實例，我們來對B-S期權公式中的價格變化模型來進行分析和說明。假設滿足各種條件，并且歷史觀察數(shù)據(jù)是有效的，那么我們利用上述方法來估計。利用Ito引理得到
其中。由B-S公式中的基本假設，可知連續(xù)的復合收益率是獨立同分布的隨機變量，可解得：
（4）
（5）
進一步的分析可以知道，由此得到的估計量是相合的。
至此，一套比較完整的期權定價理論已經(jīng)形成。我們首先考慮一個合適的帶參數(shù)價格變化模型來描述某個標的資產(chǎn)的價格變化行為，在滿足一定條件的情況下用歷史數(shù)據(jù)（極大似然估計方法）來估計得到合理的參數(shù)估計值，從而得到一個有效的價格變化模型。最后利用無套利思想來求得標的資產(chǎn)的衍生品價格。在整套理論中，合適的價格變化模型和參數(shù)估計是值得不斷改進和研究的，而相對而言，最后一部分的無套利思想則是相對嚴密和精確的數(shù)學分析。
2、模型的改進
在B-S期權公式中使用的標的資產(chǎn)的對數(shù)價格變化模型其實也就是幾何布朗運動。這樣的價格運動過程表明在不同時期標的資產(chǎn)的價格變化在某種意義下具有“獨立性”。然后在現(xiàn)實的金融市場中，這樣的要求過于苛刻，因此需要新的價格模型的引入來更好的表述標的資產(chǎn)的價格變化運動行為。OU過程(Ornstein-Uhlenbeck process)便是一個很好的改進模型。
OU過程假設，標的資產(chǎn)的對數(shù)價格過程滿足以下隨機微分方程:
其中。OU過程在數(shù)學上存在顯式解，此外它的某些性質(zhì)可以用來描述現(xiàn)實中很多標的資產(chǎn)價格變化行為的特性。OU過程是零均值的平穩(wěn)的子自相關的高斯過程的和，它具有一定的趨勢。我們可以將滿足OU過程的隨機微分方程寫成：
從這個等式我們可以看出，當偏離價格變化趨勢時，價格會以一個和偏離程度有關的比例被拉回，其中被成為調(diào)整速率。OU過程有顯式解為：
四、實證分析
本文的最后將利用所學內(nèi)容進行一次實證模擬。由于中國暫時還是沒有期權市場，而且國外期權市場的數(shù)據(jù)獲得比較不易，因此本論文對2010年貴州茅臺的股價行為進行分析，并以此算出基于貴州茅臺的歐式期權定價。
首先得到2010年貴州茅臺的股價原始數(shù)據(jù)，以日為單位，股價以當日收盤價為準。一共收集從2010年11月3日開始到2011年8月27日之間的201個數(shù)據(jù)，在此期間，貴州茅臺沒有分派過股息或拆分過股權。我們假設股價變化模型為幾何布朗運動模型，即：
下面我需要對參數(shù)，進行參數(shù)估計。
令，，，并利用得到式（4）和式（5）得到
，。
得到參數(shù)估計值后，利用算得不同到期日，不同執(zhí)行價格的基于貴州茅臺的歐式期權價格。
