【摘要】在現有的一些財務管理書籍中，對流動資產投資管理最優投資規模的確定存在描述錯誤，配圖普遍顯示最優投資規模是持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點，有些書籍甚至認為最優投資規模是以上兩種成本相等時的投資額。本文用數學方法對錯誤之處進行了解釋和說明，并提出了更正建議。
【關鍵詞】財務管理 流動資產 最優投資規模
現代公司制度是企業的主要組織形式。隨著競爭加劇和環境動蕩，營運資本管理由于對企業盈利能力以及生存能力影響重大而受到越來越多的重視。然而，目前理論界對營運資本的關注不夠，在一些財務管理的書籍中對于流動資產管理中如何確定最優投資規模存在表述不清晰甚至錯誤的問題，應當引起重視。
一、最優投資規模存在的問題
營運資本管理包括投資和籌資兩個方面。營運資本投資管理也就是流動資產投資管理，其日常管理主要包括現金管理、應收賬款管理和存貨管理。
在銷售額和成本率不變的情況下，流動資產投資取決于流動資產周轉天數。安排較少的流動資產投資，可以縮短流動資產周轉天數，但可能會引發經營中斷，增加短缺成本（交易成本、違約成本等）；安排較多的流動資產投資，可以延長流動資產周轉天數，但可能會出現閑置的流動資產，增加持有成本；只有短缺成本和持有成本之和最小時，是最優投資。也就是說流動資產最優的投資規模，取決于持有成本和短缺成本總計的最小化。
財務管理書在解釋最優投資規模的時候會配一個圖（見圖1），直觀地表示持有成本曲線、短缺成本曲線和總成本曲線的關系，同時顯示最優投資點的位置。
西南財經大學出版社2006年出版的《財務管理》教材在配圖旁做了如下解釋：“持有成本線向右上方傾斜，短缺成本線向右下方傾斜，總成本線便是一條拋物線（閏書麗等，2006）。2013年版的注冊會計師“財務成本管理”教材認為：“企業持有成本隨投資規模而增加，短缺成本隨投資規模而減少，在兩者相等時達到最佳的投資規模。”
這個配圖和對應的文字解釋是存在問題的，它改變了原有的結論，用持有成本函數與短缺成本函數相等的投資量代替了持有成本函數一階導與短缺成本函數一階導相加等于0的投資量作為流動資產投資的最佳投資量。相對于邏輯解釋和數學推導，圖形更容易記憶和理解，數學基礎薄弱、不懂微積分理論的人更傾向于記憶結論，錯誤的配圖和結論就更加容易被記住，從而在工作中產生不良影響。
1. 持有成本曲線和短缺成本曲線相加不一定是拋物線。流動資產投資中有兩個成本：短缺成本和持有成本。其中短缺成本是指隨著流動資產投資水平降低而增加的成本。持有成本是指隨著流動資產投資上升而增加的成本。因此需要權衡得失，確定最佳投資規模。
令Q是流動資產投資量，短缺成本Y是流動資產投資量Q的減函數，記為Y（Q）；持有成本Z是流動資產投資量的增函數，記為Z（Q）。流動資產投資的總成本T是短缺成本和持有成本之和，即T（Q）=Y（Q）+Z（Q）。
持有成本函數可以表示為持有成本曲線，短缺成本函數可以表示為短缺成本曲線，兩條成本曲線進行縱向加總就是總成本曲線。如果把以上三種成本線放在一個圖上，可以直觀地找出最佳投資規模的點。
最佳流動資產投資金額是使得總成本線最低的點，如果總成本線是拋物線，那么該點很明確且唯一，就是拋物線的最低點，但問題是只有Y（Q）=1/Q-Q是減函數和Z（Q）是增函數這個條件并不能保證T（Q）是拋物線或總成本線呈倒U形。可以找到很多反例，如令Y（Q）是Q的減函數，Z（Q）-Q是Q的增函數，此時TQ=Y（Q）+Z（Q）=1/Q，是一段雙曲線而不是拋物線，見下頁圖2。2. 最優投資規模不一定是持有成本曲線和短缺成本曲線的交點。如前所述，從總成本的角度考慮，使總成本最小的投資規模是最優的，用數學建模表示就是求T（Q）的最小值，由于T（Q）是連續的，極小值點就是最小值點，根據微積分極值定理，極小值點是T（Q）一階導數等于０的Q0點。
T（Q0）=Y（Q0）+Z（Q0）=0，即短缺成本函數一階導數和持有成本函數一階導數相加等于0 的流動資產金額Q0是流動資產的最優投資規模。Q0并不能使Y（Q0）=Z（Q0），得不出持有成本和短缺成本相等的點是最優投資規模的結論。
二、持有成本和短缺成本交叉點是最優投資規模的條件
那么在什么情況下，持有成本與短缺成本相等的流動資產金額是最佳投資規模？假設Q1是使短缺成本與持有成本相等的流動資產投資金額，如果Q1恰好滿足Y（Q0）+Z（Q0）=0，即流動資產金額是Q1時，短缺成本函數一階導數和持有成本函數一階導數相加等于0，此時，Q1是最優投資規模。容易看出，這種情況只是一種特例，它對短缺成本函數和持有成本函數的形式產生了約束，要求短缺成本函數和持有成本函數在方程組（1）下存在非0解Q1。
Y（Q0）+Z（Q0）=0
Y（Q）=Z（Q）
通過這個微分方程組很難直接計算出滿足（1）式的Y（Q）和Z（Q）的解析解。營運資本日常管理中現金管理、存貨管理有對上述最優投資規模的應用，分別是最佳現金持有量和存貨經濟訂貨量。
現金管理中，廣泛使用的確定最佳現金持有量的鮑曼模型是由美國經濟學家威廉·鮑曼（William Baumol）在1952年提出的，是將存貨經濟進貨批量模型原理用于確定目標現金持有量的模型，也叫存貨模式。鮑曼模型恰好滿足方程組（1），根據鮑曼模型可以推導出一個滿足方程組（1）的Y（Q）和Z（Q）的一般解析解，如果持有成本函數和短缺成本函數符合一般解析解的形式條件，則持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點是最優投資規模。
1. 鮑曼模型滿足條件。在鮑曼模型中，企業所需的現金可以通過證券變現取得，證券變現的成本（經紀費用等）為現金轉換成本，持有現金產生的機會成本為現金持有成本。
現金管理總成本=現金持有成本+現金轉換成本
TC=Q/2×R+A/Q×F （2）
其中：TC是現金管理總成本，A是預算期現金需要總量，Q是最佳現金持有量，R是有價證券利率或報酬率，F是平均每次證券變現的成本。
現金持有成本函數為Z（Q）=A/Q×R，現金轉換成本函數為Y（Q）=Q/2×R，分別對它們求一階導數Y（Q）=Q/2，Z（Q）=-AF/Q2。由Y（Q）=Z（Q）解得：Q1= 。由Y（Q）=Z（Q）解得：Q1= 。所以當Y（Q）=Q/2×R，Z（Q）=A/Q×R時，方程組（1）有解Q1。此時現金持有成本和現金轉換成本相等（或者說現金持有成本曲線和現金轉換成本曲線交叉點）的現金持有量，即是總成本最低的最佳現金持有量。
2. 滿足條件的一個一般解析解。根據鮑曼模型，一般令Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ，其中φ、δ為其他非Q變量組成的函數，可以得到方程組（1）的一個一般解析解。φ、δ取不同的函數形式可以得到不同的Y（Q）和Z（Q）。如鮑曼模型中φ=R/2，δ=AF。可以驗證“Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ”滿足方程組（1），存在Q1= ，所以它們是解析解。
3. 存貨決策中經濟訂貨量模型不滿足條件。存貨決策中經濟訂貨量模型中成本函數不符合上述解析解形式。存貨總成本的公式為：
TC=F1+[DQ]K+DU+F2+KC[Q2] （3）
儲存成本Y（Q）=F2+KC[Q2]，訂貨成本函數Z（Q）=F1+[DQ]K+DU。此處的Y（Q）和Z（Q）代入方程組（1）不存在Q1，所以儲存成本曲線和訂貨成本曲線的交叉點不是經濟訂貨量。
三、結論和建議
從上面的分析我們可以得出，只有短缺成本函數Y（Q）和持有成本函數Z（Q）滿足一定的條件，這兩條成本曲線的交叉點才使得總成本最小，才滿足流動資產投資最優化的條件。如果不滿足方程組（1）的條件，既不能說短缺成本曲線和持有成本曲線交叉點是使流動資產投資規模最優的點，也不能說流動資產投資規模最優點一定是短缺成本曲線和持有成本曲線的交叉點。用數學的語言說，短缺成本曲線和持有成本曲線交叉點的流動資產投資額既不是流動資產投資規模最優的必要條件，也不是充分條件。
有鑒于此，筆者認為最優投資規模圖形不應該采用鮑曼模型這種特殊情況，即使總成本曲線畫成拋物線，也不應該使其最低點對應持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點；如果采用圖1這種形式也應該在圖形說明中加以解釋。
主要參考文獻
1. 袁衛秋，董秋萍.營運資本管理研究綜述.經濟問題探索，2011；12
2. 閆書麗，宋靖，許世英.財務管理.成都:西南財經大學出版社，2006
【作 者】
王 超
【作者單位】
（安徽大學經濟學院 合肥 230601）
