一、隨機波動率模型概述
（一） Stochastic Volatility Model的定義
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其中為參數。從定義可以看到，SV模型是一個非線性的模型。其作用在于檢驗是否有隨機變化的趨勢。顯然，如果，則。
如果我們做變換，則，即是一個AR(1)過程。
所以，其實是一個AR(1)過程與維納過程的組合，且2者之間是相互獨立的。其中的參數部分都在中。
Andersen,T.G 和 B.E.Sorensen 在其1996年的文章中，針對SV 模型，推導出了使用GMM方法估計的如下24個矩條件。
即:
,其中，
所以可以通過來估計
（二）隨機波動率模型的模擬及其估計
1、我們按照SV模型，產生隨機數，給定初始參數為：
，產生的序列長度為3000 。如下圖：
2、參數估計
選擇計算的方法為迭代，初始值給定為(0, 0.5, 0.5)。其結果為J-test的自由度為21，J-test= 10.50719，P-value= 0.97155，其余參數的估計值如下表：
可以看到，估計值與真實值相差很小，J-test很小，P-value達到0.97155，不能拒絕原假設，再看估計出的三個參數，方差都很小，尤其是Pr(>|t|)顯著的小，說明應用GMM方法對模型進行擬合的效果不錯。
注：因為第一步產生數據的隨機性，所以，即使用同樣的種子所產生的隨機數，估計后得到的也是不一樣的。
二、上證綜合指數實證分析
下面，我們使用上海證�交易所給出的上證綜合指數（No.00001）來分析。時間從2000年1月4日開始，至2009年12月31日期間的每日開盤時的指數數據，一共2415天。如下圖所示，其中藍色橫線為6000點，紅色橫線為3000點。
（一）原始序列
使用GMM估計，其結果J-test的自由度為21，J-test= 1.3232e+32，P-value= 0.0000e+00，其余參數的估計值如下表：
其模型擬合的P-value 完全為0，關于3個參數的Std. Error=Inf，Pr(>|t|)=1，所以，我們不能考慮使用SV模型來擬合該數據。換句話說，該數據并不符合Stochastic Volatility Model。
（二）收益率序列
設表示該上證綜合指數（No.00001），我們對做變換，然后再做差分：
其中表示收益率，則。的圖形如下所示：
我們對使用GMM方法進行檢驗是否符合Stochastic Volatility Model，其結果如下：
J-test的自由度為21，J-test=29.835963，P-value= 0.095334，其余參數的估計值如下表：
從表(5)中可以看到，用Stochastic Volatility Model擬合效果不錯。除P-value較小以外，三個參數的Pr(>|t|)都很接近0。所以，在下，我們不能拒絕原假設，可以認為大致符合Stochastic Volatility Model。
三、結論部分
SV模型是一種隨機波動模型，滿足模型的數據應該帶有強烈的隨機性，而上證綜合指數（No.00001）其帶有強烈的的隨時間變化的趨勢，通過程序的結果以及一系列后續檢驗可以說明，不能直接使用Stochastic Volatility Model來擬合上證綜合指數（No.00001）。
而上證綜合指數（No.00001）的收益率，可以較好的符合Stochastic Volatility Model。這個應該和股市每天限定漲跌幅度的因素是分不開的。
四、改進的方向
我認為可以進一步考慮使用GARCH 模型進行擬合該上證綜合指數（No.00001）數據。此外，在上面的對上證綜合指數（No.00001）程序計算中，我們選用的權重矩陣W為，這不是一種非常有效的估計， 在gmm函數中，默認選擇迭代的W為更優的，但使用該上證綜合指數（No.00001）的數據計算出來的是奇異的，其數量級大概在，無法求逆，所以無法使用矩陣作為代替。所以，要解決估計的困難問題，在于找到合適的的相合估計矩陣W。
