一、問題提出
Markowitz于1952年提出的均值—方差模型，在他的工作之后，很多人也做了關于投資組合模型的研究。如Markowitz， H.M等（1993）用半方差度量風險，因為實際收益高于平均收益時的方差不是風險，所以用半方差更合理；為了減少高損失的風險，Duffie和Pan（1997)引入了用Value-at-risk（VaR）度量風險，在VaR后，Rockafellar和Uryasev（2000）首次利用最小化CVaR研究了投資組合問題。近年來，Tanaka等（2000），研究了在模糊（Fuzzy）理論基礎上的投資組合問題。在區間值收益率的方面，M.Ida(2003)，S.Giove，S.Funemi和C.Nardelli（2006），Jinping Zhang和Shoumei Li（2009）進行了研究。
上述研究的不足在于在收益率的選取上多數為離散型單變量數據。由于市場具有隨機性，一個數據不能充分地反映出一天的波動情況，本文擬利用偏差（區間之間的距離用Hausdorff 距離）作為風險的度量方式，通過模型設計和上市公司數據模擬來確定投資組合。
二、預備知識和記號
（一）經典的Markowitz模型
（二）區間之間的運算
首先介紹區間之間的線性運算，令R表示全體實數。
定義1：設閉區間A=[a，a]，B=[b，b]，其中a，a，b，b∈R，則加法定義為：
A B=[a b，a b]
定義數乘為：
λ∈R，λ·A[λa，λa]，若λ?莛0[λa，λa]，若λ<0
接下來定義區間之間的距離，記（X，□·□X）是一Banach空間，P0（X）為X的所有非空子集的全體，下面介紹P0（X）中的Hausdorff距離。
進一步，定義區間[a，a]和[b，b]之間的Hausdorff距離為區間[a，a]和[b，b]的偏差。
三、區間值收益率的投資組合模型及求解
利用歷史數據推斷股票增長率的最小值和最大值，構成股票增長率區間，這里討論均值—偏差模型投資組合，并進行數據模擬。
（一）模型介紹
（二）求解模型
利用拉格朗日方法對上述問題求解，簡略過程如下：
1.構造拉格朗日函數
則上述方程組轉化為：A?滋=B。顯然A可逆，記其逆矩陣為A-1，則有?滋=A-1B·?棕為?滋的前n項，即得最優解?棕。
四、數據模擬
在金融界網（www.jrj.com）股票數據中選取三支股票從1月20日到3月10日的數據，由收盤值計算得到的單點平均收益率作為經典Markowitz模型中的收益率值。（數據見表1）
利用經典的Markowitz模型和本文的均值—偏差模型對上述三支股票的收益區間和投資組合比例（表2）進行計算
